Stéphane Braunschweig est né en 1964 à Paris. Après des études de philosophie à l'Ecole normale supérieure, il rejoint en 1987 l’École du Théâtre national de Chaillot dirigé par Antoine Vitez, où il reçoit une formation théâtrale pendant deux ans.
En 1988, il fonde sa compagnie, Le Théâtre-Machine, avec laquelle il crée ses premiers spectacles. En 1991, au Centre dramatique national de Gennevilliers, il les réunit en une trilogie intitulée Les Hommes de neige, pour laquelle il reçoit le Prix de la révélation théâtrale du Syndicat de la critique. Il est dès lors un invité régulier du Festival d’Automne à Paris et commence à présenter son travail dans les grandes capitales européennes (Berlin, Londres, Moscou). En 1992, à l’invitation de Stéphane Lissner, il met en scène son premier opéra au Châtelet.
Stéphane Braunschweig est directeur du Centre dramatique national / Orléans-Loiret-Centre de 1993 à 1998. Il y crée une dizaine de spectacles qui tournent partout en France et sont accueillis dans les plus grands festivals (Automne à Paris, Avignon, Edimbourg, Istanbul, Rome), et il reçoit pour sa version intégrale du Peer Gynt d’Ibsen le prix Georges Lerminier du Syndicat de la critique. Pendant cette période, il est sollicité à l'étranger, pour l’opéra, notamment à Berlin avec son Fidelio dirigé par Daniel Barenboim, mais aussi à Bruxelles et Venise ; et pour le théâtre, il est invité en Angleterre pour un Measure for Measure de William Shakespeare, au Piccolo Teatro de Milan pour un Mercanto di Venezia du même William Shakespeare, à Munich pour un Woyzeck de Büchner qui lui vaut de recevoir le Bayerischer Theaterpreis (meilleur spectacle de théâtre de l’année en Bavière).
Stéphane Braunschweig est directeur du Théâtre national de Strasbourg et de son école de 2000 à 2008. Il y crée une formation à la mise en scène et à la dramaturgie et confirme le statut de carrefour théâtral européen du Théâtre national de Strasbourg. Parmi ses mises en scène marquantes, Brand d’Ibsen en 2005 et Tartuffe de Molière en 2008 sont couronnés par le Prix Georges Lerminier du Syndicat de la critique. Pendant cette période, il met en scène de nombreux opéras au Festival d’Aix-en-Provence, en particulier un Ring de Wagner en co-production avec le Festival de Pâques de Salzbourg et l’Orchestre Philharmonique de Berlin, dirigé par Simon Rattle. Et en 2008, il crée Don Carlo de Verdi pour l'inauguration de la saison de La Scala de Milan. Stéphane Braunschweig est directeur du Théâtre national de la Colline de 2010 à 2015. Il s’entoure d’artistes associés (Stanislas Nordey, Célie Pauthe, Caroline Guiela Nguyen). Parmi ses mises en scène, on peut citer son adaptation de Six personnages en quête d’auteur de Pirandello au Festival d’Avignon et tout dernièrement ses Géants de la montagne du même Pirandello, ses créations de l’auteur norvégien contemporain Arne Lygre, ou encore son Canard sauvage, invité par le Festival Ibsen d’Oslo et repris à la Colline en 2016. À l’opéra, il signe notamment des mises en scène pour l’Opéra-Comique (Pelléas et Mélisande de Debussy) et le Théâtre des Champs-Élysées (Idoménée et Don Giovanni de Mozart, Norma de Bellini).
De 2016 à 2024, Stéphane Braunschweig dirige l'Odéon-Théâtre de l'Europe.
Il associe à son projet Caroline Guiela Nguyen, Christiane Jatahy, Sylvain Creuzevault et Simon Stone : deux femmes et deux hommes, deux Français, une Brésilienne et un Australien, et parmi eux trois jeunes trentenaires. Stéphane Braunschweig affiche clairement le désir d’ancrer le Théâtre de l’Europe dans un paysage qui dépasse les frontières de l’Europe, et d’y développer une programmation qui tende vers l’égalité femmes-hommes toute en faisant une place importante à la découverte de jeunes artistes français et étrangers. On peut notamment citer le Russe Timofeï Kouliabine, l’Allemande Suzanne Kennedy, le Polonais Lukasz Twarkowski ou l’Anglais Alexander Zeldin, lequel devient aussi artiste associé à partir de 2020. Parmi ses spectacles les plus marquants, on peut retenir une École des femmes de Molière qui entre en résonance avec le mouvement #MeToo, Comme tu me veux de Pirandello, une pièce rarement jouée sur les traumatismes européens de la Guerre de 14, Nous pour un moment et Jours de joie, poursuite de son compagnonnage avec l’auteur norvégien Arne Lygre, et sa relecture des passions amoureuses d’Andromaque à travers les traumatismes de la guerre.
Pendant cette période il signe également une première mise en scène à la Comédie-Française (Britannicus de Racine), au Théâtre national d’Oslo (Solness le constructeur d’Ibsen), au Théâtre des Nations de Moscou (Oncle Vania de Tchekhov) et au Dramaten de Stockholm (Jours de joie de Lygre). À l’opéra, il fait la création mondiale de Sonate d’automne de Sebastian Fagerlund à l’Opéra d’Helsinki et revient au Théâtre des Champs-Elysées pour Eugène Onéguine de Tchaikovski. Il met en scène également le Requiem de Mozart à l’Opéra de Bordeaux.
Stéphane Braunschweig, qui a signé une soixantaine de mises en scène et de scénographies tant au théâtre qu'à l'opéra, est également auteur et traducteur. Il a publié aux éditions Actes Sud un recueil de textes et d’entretiens sur le théâtre intitulé Petites portes, grands paysages, et traduit de l’allemand, de l’italien ou du norvégien des pièces de Büchner, Kleist, Brecht, Pirandello et Lygre.